ศูนย์กลางการตี (Center of Percussion)
สมชาย เกียรติกมลชัย

มหกรรมกีฬาฟุตบอลโลกเพิ่งจะผ่านพ้นไปครับ ก็หวังว่าแฟนบอลคงฟื้นจากอาการตาดำแพนด้ากันเป็นที่เรียบร้อยแล้วนะครับ เรียนเล่นฟิสิกส์ตอนนี้ก็ยังอยู่ในท่ามกลางควันหลงของกีฬา เราคงสังเกตได้ว่ากีฬาหลายประเภทต้องอาศัยการตีลูกบอล อาจด้วยอวัยวะส่วนใดส่วนหนึ่งของร่างกายเราเองเช่น การเตะลูกฟุตบอล การตีหรือตบลูกวอลเล่ย์บอล หรือจะใช้อุปกรณ์ช่วยตีอย่างเช่น ไม้เทนนิส ไม้เบสบอล ไม้แบดมินตัน เป็นต้น การเคลื่อนที่เข้าชนกันของไม้ตี (เรียกรวมอวัยวะและอุปกรณ์ช่วยตี) กับลูกบอลเป็นไปในลักษณะที่ไม้ตีมักจะหมุนรอบจุด ๆ หนึ่งหรือเป็นแบบเชิงมุม ในขณะที่ลูกบอลจะเคลื่อนที่แบบเชิงเส้น ดังรูปที่ 1

รูปที่ 1 การตีลูกบอลด้วยไม้ตีประกอบด้วยการเคลื่อนที่แบบเชิงมุมของ
ไม้ตีและแบบเชิงเส้นของลูกบอล

หลายคนมีประสบการณ์การตีว่าถ้าลูกบอลกระทบไม้ตรงตำแหน่ง ๆ หนึ่งจะรู้สึกตีได้รุนแรงและสามารถแกว่งไม้ตามได้อย่าง สวยงาม ทิศทางของลูกบอลก็จะตรงไปอย่างที่ต้องการ (หรืออย่างน้อยก็ไม่ออกนอกลู่นอกทางไปหาคนข้างสนาม) แต่ถ้าตีผิด ตำแหน่ง ลูกไม่แรง บังคับยาก และที่สำคัญคือด้ามจับจะเลื่อนขยับจากมือทำให้ต้องออกแรงจับมากขึ้น มิฉนั้นแล้วไม้ก็จะหลุด จากมือได้ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งว่าไม้ออกแรงตีกลับไปที่มือและจุดหมุนของการเคลื่อนที่แบบเชิงมุมพยายามที่จะเลื่อนไปจากจุด เดิม ตำแหน่งบนไม้ที่ตีแล้วเป็นไปในลักษณะแรกมีชื่อว่า ศูนย์กลางการตี (Center of Percussion, CP) คำถามที่เป็นโจทย์สำหรับ ฉบับนี้คือเราจะหาตำแหน่งดังกล่าวได้อย่างไร

เราอาจประมาณตำแหน่ง CP คร่าว ๆ ได้จากการทดลองง่าย ๆ ดังนี้ สมมติว่าเราสนใจจุด CP ของแท่งดินสอแท่งหนึ่ง (ควรเป็นดินสอที่ผิวเรียบตลอดแท่ง) บนโต๊ะพื้นเรียบและออกแรงดีดที่ตำแหน่งต่าง ๆ บนแท่งดินสอ หาตำแหน่งที่ดีดแล้วปลายด้านใดด้านหนึ่งทำหน้าที่เป็นจุดหมุนอย่างแท้จริง ไม่มีการเลื่อนตำแหน่ง จุดนั้นจะเป็น CP ข้อที่น่าสังเกตประการหนึ่งคือ CP ไม่ใช่จุดเดียวกับศูนย์กลางมวล (Center of Mass, CM) ของระบบ ทั้งนี้เพราะถ้าเราออกแรงกระทำต่อแท่งดินสอโดยแนวแรงผ่าน CM แท่งดินสอจะเลื่อนไปทั้งแท่ง ดังรูปที่ 2ไม่มีสภาพการหมุนเกิดขึ้น

รูปที่ 2   การออกแรงดีดที่ตำแหน่งต่าง ๆ บนแท่งดินสอไม่สามารถทำให้
ปลายแหลมของดินสอทำหน้าที่เป็นจุดหมุนได้ (ก,ข,ง) ยกเว้น
กรณีที่แนวแรงผ่านจุด CP (ค) ของแท่งดินสอที่ทำให้แท่งดิน
สอนหมุนรอบปลายแหลมอย่างสมบูรณ์

รูปที่ 3 แรง F กระทำต่อไม้ตีผ่านจุด CP

 

ภาคคำนวณของการหาตำแหน่ง CP สามารถแยกพิจารณาได้สองแบบ
แบบที่ 1 การคำนวณจากการชนจริง ๆ
สมมติว่าแรงส่วนใหญ่ที่กระทำต่อไม้มาจากการชนกับลูกบอล ดังแสดงในรูปที่ 3 และมือจับด้ามไม้แบบหลวม ๆ เพื่อให้ด้ามจับทำหน้าที่เป็นจุดหมุนโดยสมบูรณ์ แรง F ที่ลูกบอลกระทำต่อไม้จะส่งผลต่อการเปลี่ยนสภาพการเคลื่อนที่ของ ไม้ในสองลักษณะ ลักษณะแรกคือ การเปลี่ยนสภาพการเลื่อนตำแหน่งของ CM ณ เสี้ยวเวลาที่ตีลูกบอล   แรงทำให้ไม้เกิดความเร่งซึ่งความเร่งของศูนย์กลางมวล (aCM) จะสัมพันธ์กับแรง F ดังสมการ
                    (1)
เมื่อ M เป็นมวลทั้งหมดของไม้ตี   ลักษณะที่สองที่แรงกระทำต่อไม้คือมีการเปลี่ยนสภาพการหมุนของไม้ตีรอบจุดหมุนซึ่งในที่นี้คือด้ามจับ ปริมาณที่เราต้องคำนึงถึงคือผลคูณระหว่างแรงที่ตั้งฉากกับแนวไม้และระยะทางจากจุดหมุนถึงแรงซึ่งถูกเรียกว่าทอร์ค (torque, t)  
                      (2)
ผลของทอร์คทำให้สภาพการหมุนเปลี่ยน กล่าวคือเกิดความเร่งเชิงมุม  ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งเป็นไปตามสมการ
                          (3)
เมื่อ  เป็นโมเมนต์ความเฉื่อยของไม้ สำหรับมวลต่อเนื่องโมเมนต์ความเฉื่อยนิยมเขียนในรูปทั่วไปดังนี้
                      (4)
โดยเป็นค่ารัศมีไจเรชัน ค่ารัศมีไจเรชั่นนี้เป็นรัศมีซึ่งเสมือนว่ามวลทั้งหมดไปรวมกันอยู่ที่นั่น ลักษณะการเคลื่อนที่ทั้งสองแบบมีความสัมพันธ์กันผ่านทางค่าความเร่งเชิงมุม  และค่าความเร่งเชิงเส้น
                  (5)
โดยการรวมสมการที่ (1) ถึง (5)  เราจะได้ความสัมพันธ์ว่า
                          (6)
แบบที่ 2 การคำนวณจากการแกว่งแบบ physical pendulum
เนื่องจากด้ามจับทำหน้าที่เป็นจุดหมุนโดยสมบูรณ์ ดังนั้นอีกแนวคิดหนึ่งของการหา CP คือการหาตำแหน่งซึ่งเสมือนว่ามวลทั้งหมด ไปรวมกันที่จุดนั้นแล้วทำให้คาบการแกว่งไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือเปลี่ยนจากการแกว่งแบบ physical pendulum ซึ่งเป็นการแกว่งของมวลต่อเนื่องไปเป็นแบบ simple pendulum ซึ่งเป็นการแกว่งของจุดมวล (รูปที่ 4)

รูปที่ 4 การแกว่งแบบ (ก) physical pendulum และ (ข) simple pendulum

พิจารณาการหมุนของไม้รอบจุดหมุน จาก  เรามี
               (7)
ซึ่งสำหรับมุม น้อย ๆ ค่า  เมื่อ s เป็นการการขจัดจากแนวสมดุลไปตามส่วนโค้งวงกลม     จากสมการที่ (5) เราจะได้ว่า  ซึ่งเมื่อรวมกันเราจะได้ว่า
                (8)
เนื่องจากค่าความเร่งที่ได้มีขนาดที่แปรผันตรงกับการขจัด s ดังนั้นการแกว่งนี้จึงเป็นแบบซิมเปิลฮาร์โมนิคและเทอมที่อยู่ในวงเล็บมีค่าเป็น  ของระบบเมื่อ  เป็นอัตราเร็วเชิงมุมของการแกว่ง (ไม่ใช่อัตราเร็วเชิงมุมของจุดใด ๆ บนไม้ซึ่งเปลี่ยนไปตามเวลา)
     (9)
คำตอบที่ได้เป็นกรณีการแกว่งแบบ physical pendulum ซึ่งถ้าเป็นกรณีการแกว่งแบบ simple pendulum (ดูรูปที่ 4 (ข)) ที่มีมวลทั้งหมดไปรวมกันอยู่ที่ระยะ L จะมี
                           (10)
ดังนั้นเราอาจสรุปได้ว่าค่า นี้เป็นระยะ  ของไม้นั่นเอง .....อ่านเสร็จแล้วก็ลองทดสอบดูนะครับกับไม้เทนนิสหรือไม้แบดมินตันก็ได้ ลองหาคาบการแกว่งดูแล้วดูซิว่า  ที่ได้จากสมการที่ (9) ใกล้เคียงกับตำแหน่งที่ตีจริง ๆ แค่ไหน.....