เวกเตอร์ III :เรขาคณิต ผลคูณภายในและเวกเตอร์ทั่วไป

ชาญกิจ คันฉ่อง

ในกรอบเฉื่อยแบบกาลิเลียน อวกาศ มีอาณาบริเวณ 3 มิติและสมมาตร ซึ่งกำหนดสมบัติของปริมาณเวกเตอร์ที่อาศัยอยู่ภายในว่า : ( ก ) มีทิศ และไม่แปรเปลี่ยน ( invariant ) ในการแปลงอวกาศ (หรือกรอบการสังเกตนิ่ง) (ดู เวกเตอร์ I , วารสารฟิสิกส์ไทย มี.ค.-พ.ค. 2549 ), (ข) มีการบวกเวกเตอร์ที่เป็นการดำเนินการระหว่างเวกเตอร์ให้ผลเป็นเวกเตอร์ที่ “ง่ายที่สุด” และไม่แปรเปลี่ยน ในการแปลงอวกาศ (ดู เวกเตอร์ II , วารสารฟิสิกส์ไทย มิ.ย.-ส.ค. 2549 ) ซึ่งอธิบายให้เห็นภาพได้ง่ายโดยใช้ การบวกการ กระจัดที่ต่อกันเป็น รูปสามเหลี่ยมการบวก ดัง ภาพที่ 1. ซึ่งไม่มีการเปลี่ยนแปลงรูปในการแปลงอวกาศ

แต่เรายังไม่ได้กล่าวถึงสมบัติเรขาคณิตของอวกาศเลย สำหรับอวกาศแบบกาลิเลียนมีเรขาคณิตแบบยุคลิด คือ มีความสัมพันธ์ของ ด้านรอบรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นไปตามทฤษฎีบทปิธาโกรัส ส่งผลให้ความสัมพันธ์ของด้านรอบรูปสามเหลี่ยมการบวกเป็น ดังสมการ

(1)

ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่ไม่แปรเปลี่ยนในการแปลงอวกาศเช่นกัน และเป็นที่มาของสมบัติทั่วไปอีกประการหนึ่งของเวกเตอร์ เรียกว่า ผลคูณภายใน ( inner product)

สมบัติบางประการเกี่ยวกับอาณาบริเวณเส้นทางในอวกาศ

เส้นทาง เป็นอาณาบริเวณง่ายที่สุดในอวกาศที่มีสมบัติขนาด เช่น สมบัติระยะทาง เส้นทางที่มีระยะทางน้อยที่สุดเชื่อมต่อ ระหว่างจุด 2 จุดเรียกว่า เส้นตรง การกระจัดมีอาณาบริเวณเป็นเส้นตรงมุ่งจากจุดหนึ่งไปยังจุดหนึ่ง ทุกการกระจัด ที่เป็นผลการดำเนินการเชิงเส้น ( linear combination ) ของการกระจัดที่ต่างกันคู่หนึ่ง กล่าวคือ จะแสดงจุดของอาณาบริเวณระนาบ พิจารณาเส้นทางที่ลากรอบจุดๆ หนึ่งไปบนระนาบโดยให้มีระยะห่างหรือรัศม ีจากจุดนั้นเท่ากันหมด เรียกว่า วงกลม เรียกความยาวส่วนของเส้นรอบวงที่เชื่อมต่อจุด 2 จุดบนวงกลมที่ได้ปรับ บรรทัดฐานโดยการหารด้วยรัศมีให้ใช้ได้กับทุกวงกลมว่า มุม จะเห็นว่า มุม เป็นความสัมพันธ์ชนิดหนึ่งระหว่างเส้นตรง หรือการกระจัด 2 เส้นที่เชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางวงกลมกับแต่ละจุดบนเส้นรอบวง เนื่องจากมุมนิยามจากสัดส่วนระยะทาง จึงมีสมบัติสมมาตร คือ มุมที่การกระจัด กระทำกับ เท่ากับ มุมที่การกระจัด กระทำกับ

ผลคูณภายในของเวกเตอร์

ความสัมพันธ์ของด้านรอบรูปสามเหลี่ยมการบวกเวกเตอร์ ( 1 ) เป็นความสัมพันธ์ของขนาดระยะทางที่เป็นปริมาณสเกลาร์ แต่ก็ยังมี concept เกี่ยวกับทิศของรูปร่างสามเหลี่ยมแฝงอยู่ในรูปมุม จึงพยายามเขียนความสัมพันธ์นี้ในรูปปริมาณที่มี ทิศทางเป็นสมบัติพื้นฐานในอวกาศ นั่นคือ เวกเตอร์ โดยหาวิธีนิยามการดำเนินการชนิดหนึ่งของเวกเตอร์ที่ได้ผลเป็น จำนวน พิจารณาวิธีที่ง่ายโดยกำหนดให้การดำเนินการดังกล่าวของเวกเตอร์กับตัวมันเองได้ผลเป็นขนาดของมันเองกำลังสอง กล่าวคือ , , และ ส่วนกรณีอื่นๆ นิยามให้สอดคล้องกับสมการ ( 1 ) ดังนี้

        (2)

พิจารณา ขั้นตอน 2 เป็นการจัด (1) ให้ทุกพจน์อยู่ในแบบแผนเดียวกัน และกระจายให้คล้ายกับการกระจายผลบวกกำลังสอง ซึ่งให้แนวคิดในการนิยามการดำเนินการระหว่างเวกเตอร์ที่มีสมบัติสอดคล้องกับแบบแผนดังกล่าว ดังนี้

    (3)

ทำให้ได้การดำเนินการใน ขั้นตอน 3 ที่มีสมบัติ : -

(b1) ถ้า ดำเนินการระหว่างเวกเตอร์ที่มี ทิศเดียวกัน ( ) จะให้ค่าบวกอย่างเดียว และมีความสอดคล้องกันของกรณี และ

(b2 ) มี สมบัติเชิงเส้นคู่ ( bilinear) คล้ายผลบวกกำลังสองของจำนวน

    (4)

(b3 ) มี สมมาตรในการสลับที่ (3) สอดคล้องกับ concept มุม

สมบัติเหล่านี้ทำให้มีวิธีดำเนินการกับเวกเตอร์ที่ง่ายในการได้ความสัมพันธ์เชิงเรขาคณิต (1) ออกมา เรียกการดำเนินการ ( 3 ) ว่า ผลคูณภายใน สรุปคือ เรขาคณิตของอวกาศกำหนดแบบแผนความสัมพันธ์ ( relation pattern ) ของขนาดของเวกเตอร์ที่มาบวกกัน โดยสามารถเขียนเป็นภาษาใหม่ในรูป ผลคูณภายใน ที่มีสมบัติทั่วไปดัง (b1)-(b3)

เวกเตอร์ในระบบสัจพจน์ และตัวแทนเวกเตอร์

สรุป (รวมบทความ เวกเตอร์ I และ เวกเตอร์ II ด้วย ) : อวกาศกำหนดสมบัติทั่วไปของเวกเตอร์ ดังนี้

(a) สมบัติเชิงเส้น : อวกาศมีอาณาบริเวณต่อเนื่องที่มีมิติ ทำให้มีปริมาณเวกเตอร์ที่มีขนาดและทิศทาง และสามารถต่อกันเป็นรูปสามเหลี่ยมการบวก ซึ่งเป็นการดำเนินการระหว่างเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ที่ “ ง่ายที่สุด ” (เพราะไม่มีข้อมูล เกิน ) เรียกว่า การบวกเวกเตอร์ และจากจำนวนมิติของอวกาศบ่งบอกว่า ในอวกาศมีเวกเตอร์ชุดหนึ่งในจำนวนเท่ากับมิติ เรียกว่า ฐานหลัก ที่สามารถทำ linear combination กันได้เป็นเวกเตอร์ใดใด

(b) สมบัติเรขาคณิต : เรขาคณิตแบบยุคลิดของอวกาศกำหนดความสัมพันธ์ของด้านและมุมต่างๆ ของสามเหลี่ยมการบวกเวกเตอร์ ซึ่งสามารถเขียนในรูปการดำเนินการที่เรียกว่า ผลคูณภายใน ที่มีสมบัติทั่วไปคือ สลับที่ได้ , เป็นเชิงเส้นคู่ , และ ถ้าคูณระหว่างเวกเตอร์เดียวกันจะได้เป็นค่าบวกอย่างเดียว

(c) สมบัติสมมาตร : อวกาศสมมาตรทำให้มีหลักสัมพัทธภาพ คือ ปริมาณเวกเตอร์ไม่แปรเปลี่ยนในการแปลงอวกาศ ซึ่งกำหนดวิธีแปลงอวกาศที่รักษาปริมาณเวกเตอร์ว่าเป็น การเลื่อนขนาน และการหมุน

เราสามารถถือว่า ข้อความตัวหนา ในข้อ ( a)-(c ) เป็น สัจพจน์ ( axioms) นิยามความเป็นเวกเตอร์แล้วใช้สัจพจน์ เหล่านี้แสดงสมบัติทั้งหมดของเวกเตอร์ออกมา ซึ่งเป็นวิธี formulation เวกเตอร์ที่เรียกว่า ระบบสัจพจน์ ( axiomatic approach) เช่น จาก (a) และ ( b ) สามารถแสดงได้ว่า มีเวกเตอร์ฐานหลักหนึ่งหน่วยที่ตั้งฉากซึ่งกันและกันชุดหนึ่งเขียนเป็น โดยที่ และ เรียกว่า orthonormal basis ที่สามารถใช้เขียนเวกเตอร์ใดใดได้ดังนี้

     (5)

และเขียนขนาดเวกเตอร์ในรูปองค์ประกอบ (components) ได้ว่า

     (6)

จะเห็นว่าการแสดงเวกเตอร์ใดใดในรูป orthonormal basis ทำให้สามารถเขียนเวกเตอร์และขนาดในรูปที่มีการแยกแยะ พจน์ตามองค์ประกอบที่เป็นจำนวน 3 ตัวได้ ทำให้การดำเนินการต่างๆ กับเวกเตอร์ทำได้สะดวกขึ้นโดยแยก กันดำเนินการกับแต่ละองค์ประกอบ จึงสามารถใช้สิ่งอันดับ (ordered tuple) ขององค์ประกอบ เป็น ตัวแทนแบบจำนวน ( number representative) ของเวกเตอร์ได้

ถ้าเรารู้จักแกนพิกัดชุดหนึ่งในอวกาศมาก่อนโดยใช้เป็นฐานหลักของเวกเตอร์ และทราบ concept มุมในอวกาศ ก็สามารถใช้ สร้างภาพเรขาคณิตหรือภาพลูกศรเวกเตอร์ในอวกาศขึ้นมาได้ ดังนั้น แกนพิกัดและมุมในอวกาศเปรียบเสมือน ท่าเรือที่เชื่อมสัมพันธ์ระหว่างเวกเตอร์ในระบบสัจพจน์นามธรรมกับภาพเรขา คณิตรูปธรรม

เวกเตอร์ทั่วไป

เวกเตอร์ทั่วไปไม่จำเป็นต้องนิยามในอวกาศ 3 มิติแบบยุคลิดของกรอบเฉื่อย แต่นิยามในอวกาศชนิดใดใดที่มีสมบัติอาณาบริเวณ, มิติ, เรขาคณิต, และสมมาตร ในรูปแบบแตกต่างกันไปซึ่งจะให้เวกเตอร์ที่อาศัยอยู่แตกต่างกัน เราสะดวกที่จะกำหนดสมบัติของเวกเตอร์ในอวกาศแต่ละชนิดในรูปสัจพจน์ (a)-(c ) ที่สอดคล้องกับสมบัติอวกาศชนิดนั้นๆ เพราะไม่จำเป็นต้องนึกภาพ (เนื่องจากนึกภาพได้ยาก) ก็มีสมบัติทั่วไปที่จะใช้คำนวณได้อย่างสมบูรณ์ เช่น เวกเตอร์ในอวกาศแบบฮิลเบิร์ท ในกลศาสตร์ควอนตัม ที่อยู่ใน อวกาศแบบฮิลเบิร์ท ( Hilbert space ) ที่เป็นอวกาศเชิงซ้อนที่มีมิติจำนวนอนันต์ ทำให้ได้สัจพจน์ของเวกเตอร์ในอวกาศนี้ว่า มีเวกเตอร์สองชนิดที่สมนัยกันหนึ่งต่อหนึ่ง คือ เวกเตอร์ กับ เวกเตอร์ทวิภาพ ( dual vector ) ที่ต่างก็มีการดำเนินการเชิงเส้นที่คู่ขนานกัน โดยเวกเตอร์ทวิภาพถูกสร้างขึ้นเพื่อใช้นิยามผลคูณภายในให้อยู่ในรูปการดำเนินการระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองชนิดเพื่อให้ได้ผลคูณระ หว่างคู่ทวิภาพของเวกเตอร์เดียวกันเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ ( b1 ) (ส่วนผลคูณภายในระหว่างเวกเตอร์กับเวกเตอร์ทวิภาพอื่นๆ เป็นจำนวนเชิงซ้อน) ในกลศาสตร์ควอนตัมมีสัจพจน์พื้นฐานหนึ่งว่า มีฐานหลักชนิดหนึ่ง ที่ตั้งฉากซึ่งกันและกัน และมีดัชนีมิติแบบต่อเนื่องเป็นตัวแปรตำแหน่งในอวกาศ โดยถือว่ารู้จักกันมาก่อน เพราะเรามีวิธีตีความองค์ประกอบของฐานหลักชนิดนี้ที่เรียกว่า ฟังก์ชันคลื่น ได้ พิจารณาการหาสถานะพลังงานเจาะจง (energy eigen states ) ของระบบควอนตัมระบบหนึ่งในรูปฐานหลักนี้ คือ ซึ่งเราหาฟังก์ชันคลื่นหรือองค์ประกอบของฐานหลักนี้ ได้จาก สมการชโรดิงเงอร์ ( ) เมื่อทราบค่าองค์ประกอบแล้ว ถ้า สมมุติว่า เราสามารถ plot ลงบนแต่ละแกนพิกัด ที่มีจำนวนนับอนันต์และต่อเนื่องได้ ก็จะได้ภาพตัวแทนแบบเรขาคณิตของเวกเตอร์ ในอวกาศแบบฮิลเบิร์ทนั่นเอง