เหลี่ยมเพชรเม็ดงามวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า

ตอนที่ 2 : กฎของบิโอท์-ซาวาร์ท

ชาญกิจ คันฉ่อง

1. หลักการพื้นฐานของสิ่งของที่ว่าง

ผมมี ความเชื่อ ลึกๆ ว่า ถ้าจับประจุใส่ลงในอวกาศและเวลาจะได้สมการแมกซ์เวลล์ออกมาโดยอัตโนมัติ คือ ออกมาจาก “nothing” เลย โดยกำหนดมาจากโครงสร้างของอวกาศและเวลาเอง ซึ่งเป็นหลักเหตุผลที่อาจเรียกได้ว่า หลักการพื้นฐานของสิ่งของ-ที่ว่าง ที่กล่าวว่า “ โครงสร้างของสถานที่ คือ อวกาศและเวลา จะกำหนดลักษณะร่วมของสิ่งของที่สามารถอาศัยอยู่ภายใน ” หลักการนี้คล้ายกับหลักสัมพัทธภาพ แต่มีเงื่อนไขคับกว่า คือ กำหนดไปถึงรูปร่างของกฎฟิสิกส์ด้วย ในขณะที่หลักสัมพัทธภาพกำหนดได้แค่ว่ากฎฟิสิกส์ต้องเป็นสมการสเกลาร์หรือเวกเตอร์เท่านั้น (หรือกล่าวโดยทั่วไป เป็นสมการเทนเซอร์หรือสปินเนอร์) แต่ก็ยังไม่ทราบว่าหลักการนี้คับพอที่จะกำหนดรูปร่างกฎฟิสิกส์อย่างจำเพาะและครอบคลุมระดับใด แต่อย่างน้อยก็กำหนดรูปร่างกฎของเกาส์และกฎของฟาราเดย์แบบสถิตที่เป็นส่วนหนึ่งของสมการแมกซ์เวลล์ [1] [ ในทำนองเดียวกัน ผมคิดว่าหลักการนี้เป็นหลักเหตุผลเบื้องลึกที่ทำให้ โลกกลม ซึ่งเป็นหลักเหตุผลที่เหนือกว่ากฎฟิสิกส์เฉพาะกรณี ] ในบทความชุดนี้ เราจะใช้หลักการนี้ “ อธิบาย ” ความเป็นสมการแมกซ์เวลล์ในฟิสิกส์แบบฉบับ (ไม่สัมพัทธภาพ) ให้มากที่สุดเท่าที่จะไปกันได้ ความไม่สมบูรณ์ในที่นี้ก็เป็นการเปิดประเด็นต่อ และหวังว่าอย่างน้อยเป็นวิธีช่วยให้เข้าใจสมการแมกซ์เวลล์มากขึ้น

เราเริ่มต้นที่พิจารณา ระบบสถิต (ไม่สัมพัทธภาพ) ซึ่งหมายถึงขอบเขตการศึกษาสนามที่เป็นไปได้จาก sources ที่อยู่ในสสาร (มีมวล) และอยู่นิ่งภายในกรอบเฉื่อยหนึ่งๆ เรามีสัจพจน์พื้นฐานของ อวกาศ และ สสารกับสนามที่อาศัยอยู่ ดังนี้

( A ) อวกาศ : ( a1 ) มีอาณาบริเวณต่อเนื่อง เรียบ และมี 3 มิติ, ( a2 ) มีเรขาคณิตแบบยุคลิด (มุมรอบวงกลมเป็น และมีฟังก์ชันตรีโกณมิติ), ( a3 ) มีหลักสัมพัทธภาพ หรือทั่วไปกว่าคือ หลักสมมาตร กล่าวคือ ทุกบริเวณในอวกาศและระบบพื้นหลัง ( background ) ที่สมมาตร มีผลต่อระบบฟิสิกส์ที่อาศัยอยู่เหมือนกัน

( B ) ปรากฏการณ์ในอวกาศและเวลา : ( b1 ) ในอวกาศมีสสาร (มีมวล) เคลื่อนที่ได้ในอวกาศ การเคลื่อนที่เป็นปรากฏการณ์ของวัตถุฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้องกับอาณาบริเวณในอวกาศโดยตรง เช่น การเคลื่อนที่ของ อนุภาคสสาร แสดงได้ด้วยการเลื่อนตำแหน่ง , ( b2 ) สนามของแรง เป็นสนามที่เชื่อมโยงโดยตรงกับความเร่ง ( ) ของอนุภาค (สสาร) และความเร่งก็เชื่อมโยงโดยตรงกับการเปลี่ยนตำแหน่งในอวกาศ สนามของแรงจึงเป็นสนามเวกเตอร์ และมีสมบัติอื่นๆ สอดคล้องกับหลักการพื้นฐานของสิ่งของ-ที่ว่าง เราจะจำกัดการพิจารณาเฉพาะสนามของแรงเท่านั้น [ เขียนเป็น ]

( C ) sources และ สนามของแรง : ( c1 ) sources ของสนามของแรงต้องอาศัยอยู่ในสสารที่มีมวล, ( c2 ) สนามของแรงกำเนิดหรือสิ้นสุดที่ sources เท่านั้น ไม่สามารถเกิดมีขึ้นมาเองจากอวกาศอันว่างเปล่า, ( c3 ) ที่ตำแหน่งใดใด ยกเว้นที่ sources มีสนามของแรงเป็นไปได้อย่างเดียว ( unique ) ต่อเนื่องและเรียบทั่วอวกาศ

หลักการพื้นฐานของสิ่งของ-ที่ว่างมี กลไก ว่า หลักสมมาตร ( a3 ) จะกำหนดสนามของ source พื้นฐาน และจาก ( c2 ) จะได้ สนามของระบบหลาย sources โดย การประกอบขึ้นจากสนามของแต่ละ source พื้นฐานในกรณีที่อยู่กันอย่างโดดเดี่ยวมาบวกกันแบบเวกเตอร์พอดีโดยไม่มีสนามเกินเกิดขึ้น เรียกว่า หลักการซ้อนทับกัน ( superposition principle) [1, 2]

2. แบบแผนของสนามของแรง

เราสามารถแสดง ( represent ) สนามเวกเตอร์ที่มีสมบัติ ( c1 )-( c3 ) ในรูป เส้นสนาม ( field lines ) ที่ไม่ตัดกันเลยในอวกาศยกเว้นที่ตำแหน่ง sources ถ้าเราทดลองวาดฟ่อนของเส้นสนามดังกล่าวที่สามารถแผ่ไปทั่วอวกาศจะพบว่าสามารถวาดได้ 2 แบบเท่านั้น คือ สนามแผ่ ( spread field ) และ สนามวน ( circulate field ) สนามแผ่มีเส้นสนามทุกเส้นแผ่ออกหรือแผ่เข้าจาก sources ส่วนสนามวนมีเส้นสนามทุกเส้นวนเป็นวงปิดรอบ sources ดัง รูปที่ 1 (ในขั้นตอนนี้ ผมยังไม่ได้หมายถึง divergent field ที่มี divergence กับ curl และ curl field ที่มี กับ เพราะบาง curl fields เป็นได้ทั้งสนามแผ่หรือสนามวนใน sense นี้ [3] )

2.1 ) source พื้นฐาน และแบบแผนทิศของสนามจาก source พื้นฐาน

สนามแผ่ : มี source พื้นฐานที่สุดเป็น source จุด พิจารณา source จุดโดดเดี่ยว ซึ่งเป็นแค่จุดในอวกาศสมมาตร ทำให้ทุกตำแหน่งรอบ source มีข้อมูลในการกำหนดสนามเหมือนกัน จากหลักสมมาตร ( a3 ) ทำให้ได้เส้นสนามเหมือนกันทุกทิศทาง คือ ( 1 ) แผ่ออกหรือแผ่เข้าอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น, ( 2 ) แผ่อย่างสมมาตร, และ ( 3 ) เป็นเส้นตรงจากจุด source เส้นสนามรอบๆ source จึงก่อรูปร่างคล้ายกับ ตัวเม่นแคระ ( hedgehog )

สนามวน : มีความไม่สมมาตรรอบจุดศูนย์กลางการวน ซึ่งต้องมาจาก source ที่ไม่สมมาตรที่จุดนี้ คือ มีแกนให้เส้นสนามวนรอบได้ sources รูปร่างแกนที่พื้นฐานที่สุดก็คือ แกนเวกเตอร์ขนาดน้อยยิ่ง ( infinitesimal vector axis ) ที่เรียกว่า ชิ้นประกอบเวกเตอร์ ( vector element ) source ชนิดนี้ควรให้แบบแผนของสนามตามหลักสมมาตร ( a3 ) อย่างไร ?

กำหนดพิกัดทรงกลมให้แก่อวกาศรอบชิ้นประกอบเวกเตอร์ โดยให้ เป็นระยะรัศมีจากจุดศูนย์กลางชิ้นประกอบ, เป็น มุมที่เวกเตอร์ตำแหน่งกระทำกับทิศชิ้นประกอบ, และ เป็น มุมกวาดรอบแกนชิ้นประกอบ เมื่อมอง source ชนิดนี้จากตำแหน่ง รอบๆ จ ะเห็นว่ามีสมมาตรตามแนวพิกัด ดังนั้นที่ หนึ่งๆ ไม่มีข้อแตกต่างในการกำหนดเส้นสนามที่ทุกมุม จากหลัก ( a3 ) ได้ว่าที่แต่ละมุม บนผิวปิด รูป ทรงกลมรัศมี รอบ source มีเส้นสนาม วนเป็น วงกลม ตามแนว รอบแกนชิ้นประกอบที่เป็นแกนศูนย์กลางพอดี เส้นสนามรอบ source จึงก่อรูปร่าง คล้ายกับ ขดด้ายไหมพรม โดยเปรียบเส้นสนามเป็นเส้นด้ายไหมพรมที่ขดกันแน่นเป็นลูกกลมๆ ล้อมรอบไจด้ายเล็กๆ แกนหนึ่ง ดัง รูปที่ 2.1 แต่เส้นสนามจะวนรอบแกนในทิศทางใด ความสมมาตรรอบแกนและทิศของแกน ไม่ได้ fix อะไรให้ เราจึงกำหนดข้อตกลงตามที่เราถนัด คือ พันรอบแกนตามหลักเกณฑ์มือขวา

2.2 ) แบบแผนความเข้มสนามจาก source พื้นฐาน

สนามแผ่ : ความเข้มสนาม ณ จุดหนึ่งๆ เป็นความหนาแน่นของจำนวนเส้นสนามที่ผ่านบริเวณจุดนั้น โดยวัดเป็นสัดส่วนระหว่าง “ จำนวนเส้นสนาม ” กับ ผิวน้อยยิ่งที่ตั้งฉาก กับเส้นสนาม ณ จุดนั้น สำหรับสนามต่อเนื่อง ปริมาณที่แสดง “ จำนวนเส้นสนาม ” ผ่านผิวหนึ่งๆ เรียกว่า ฟลักซ์ ( flux ) เขียนเป็น โดยเขียน ความเข้มของสนาม ( flux density ) ในรูปฟลักซ์ได้เป็น โดยที่ เนื่องจาก ( c2 ) เส้นสนามไม่สามารถกำเนิดขึ้นเองจากอวกาศอันว่างเปล่า ทำให้ฟลักซ์ทั้งหมดที่ผ่านผิวปิดใดใดรอบ source จุดมีค่าคงที่ ดังนั้นโดย ( a1 )-( a2 ) ได้ว่าความหนาแน่นของเส้นสนามต่อพื้นที่ผิวปิดที่อยู่ห่างจาก source จุดมากขึ้น จะลดลงตามกฎกำลังสองผกผัน ( inverse-square law ) [1]

สนามวน : สำหรับสนามวนรอบชิ้นประกอบเวกเตอร์ จะมี ( c2 ) อย่างไร ? และ วัดความเข้มอย่างไร ? สนามวนมีเส้นสนามเป็นวงปิด แต่ละวงเริ่มต้นกำเนิดจาก source แล้วขยายออกไปเป็นวงกว้างขึ้นเรื่อยๆ อย่างต่อเนื่องในอวกาศ คล้ายกับการแผ่หน้าคลื่นวงกลม ดังนั้นจึงมี ( c2 ) ในลักษณะที่ว่าเมื่อไม่มี source ก็จะไม่มีวงเริ่มต้นใหม่เกิดขึ้นได้เองในอวกาศอันว่างเปล่า เนื่องจากเส้นสนามวนเป็นวงปิดทาบทับไปกับผิวปิดรอบ source จึงคิดฟลักซ์เป็นปริมาณการทาบทับผิว นั่นคือ

โดยที่ เป็นขนาดองค์ประกอบของชิ้นประกอบผิวน้อยยิ่ง ที่ทาบทับไปกับเส้นสนาม และเขียนความเข้มสนามในรูปฟลักซ์ได้ว่า ความเข้มสนามประกอบด้วยสัดส่วนระหว่าง ปัจจัยต่างๆ ของสนามบนผิว กับ ตัวแปรของผิวที่เจือจางหรือเข้มข้นปัจจัยดังกล่าว ในที่นี้จะศึกษาแต่ source พื้นฐาน คือชิ้นประกอบเวกเตอร์ โดยจะแบ่งการพิจารณาปัจจัยของความเข้มสนามวนรูปขดด้ายนี้ออกเป็น 3 ด้าน ดังต่อไปนี้

I. พิจารณาจำนวนวงเส้นสนามทั้งหมด ( ) ที่ทาบทับไปบนผิวปิดทรงกลมรอบ source จาก ( c2 ) ได้ว่า คงที่ไม่ว่าขยายผิวปิดทรงกลมให้ใหญ่ขึ้นเท่าใด ทำให้ได้จาก ( a1 ) - ( a2 ) ว่าความหนาแน่นของจำนวนเส้นสนาม ( ) ต่อเส้น ที่ตั้งฉากกับเส้นสนามบนผิวทรงกลม แปรผกผัน กับรัศมี (แสดงดัง รูปที่ 2.2 ) และเนื่องจากชิ้นประกอบเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์จุด แม้ความมีขั้วไม่สมมาตรจะให้สนามวน แต่ความเป็นจุดไม่ได้ให้ข้อมูลใดใดแก่การกระจายตามมุม จึงได้จาก ( a3 ) ว่า ที่ มีค่าเท่ากันหมดทุกมุม เขียนได้เป็นสมการ

II. เส้นสนามวนวงหนึ่งก็เปรียบเสมือนกับวงด้ายไหมพรมที่ออกจาก source ด้วย “เนื้อของเส้น” คงที่ ที่ไม่กำเนิดขึ้นใหม่อีก เมื่อวงขยายกว้างขึ้น ซึ่งทำให้เส้น “ บางลง ” โดยมี “ ความหนาแน่น ( ) ” ต่อความยาวเส้นสนาม ( ) แปรผกผัน กับ เนื่องจาก source เป็นเวกเตอร์จุด, จึง ไม่ขึ้นกับมุม เขียนได้ว่า

III. เมื่อไม่คิดปัจจัย I. และ II. พิจารณาแต่โครงสร้างและทิศทางของเส้นสนามที่ต่อกันเป็นรูปขดด้ายทรงกลมที่วนตามหลักเกณฑ์มือขวารอบ source ซึ่งบรรยายได้ด้วยเวกเตอร์สัมผัสเส้นสนาม ดังแสดงใน รูปที่ 2.1 โดยที่ตัวประกอบ แสดง สัดส่วนของรัศมีความโค้ง ( radius of curvature ) ของเส้นสนามรอบ source ในทิศทางต่างๆ โดยใช้วิธีคิดบรรทัดฐานให้ทุกตำแหน่งรอบ source เป็นเวกเตอร์ 1 หน่วย ( ) ทั้งหมด เส้นสนาม ณ จุดที่มีรัศมีความโค้งมาก จะมีความโค้งน้อย ก็สัมผัสกับเส้นสัมผัส ( tangent line ) เส้นสนามที่จุดนั้นมาก ย่อมส่งผลกระทำที่จุดนั้นมาก ความเข้มสนามจึงเกี่ยวข้องกับสัดส่วนรัศมีความโค้งด้วย

จากสามปัจจัยทำให้ได้

นี่คือโครงสร้างแบบ กฎของบิโอท์-ซาวาร์ท ( Biot-Savart's law ) กฎของบิโอท์-ซาวาร์ทในวิชาแม่เหล็กสถิตมี source ชิ้นประกอบเวกเตอร์เป็น ชิ้นประกอบกระแส ( current element ) ซึ่งเป็นกระแสคงตัวของประจุอนุรักษ์ ทำให้ ต้อง มี กระแสครบวงจร จากหลักการซ้อนทับกันจะให้สนามแม่เหล็กทั้งหมด ของวงจรเป็น

เอกสารอ้างอิง

[1] ชาญกิจ คันฉ่อง , “ เหลี่ยมเพชรเม็ดงามวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า : ตอนที่ 1 กฎของเกาส์และกฎของฟาราเดย์แบบสถิต ,” วารสารฟิสิกส์ไทย (ธ.ค. 2549 - ก.พ. 2550 ).

[2] ชาญกิจ คันฉ่อง, “ เวกเตอร์ II: การบวกเวกเตอร์ และการประดับประดาอวกาศ ,” วารสารฟิสิกส์ไทย (มิ.ย.-ส.ค. 2549 ).

[3] R. B. Mcquistan, Scalar and Vector Fields: A physical Interpretation (John Wiley, 1965), p.176-179.