เหลี่ยมเพชรเม็ดงามวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า : ตอนที่ 3 พลังงานไฟฟ้า ( 1 )

ชาญกิจ คันฉ่อง

พลังงานอยู่ที่ไหน ?

อาจกล่าวว่าจักรวาลตามฟิสิกส์แบบฉบับประกอบด้วยวัสดุ 3 ชนิด คือ อวกาศ-เวลา, อนุภาค , และ แรง พลังงานอาศัยอยู่ในวัสดุ ใดใน 3 ชนิดนี้ คำตอบ คือ ทั้งหมดเลย ! และแลกเปลี่ยนไปมาได้ ! ในบทความนี้จะสำรวจ concept พลังงานในวิชาไฟฟ้าสถิต

พิจารณาจุดประจุ เคลื่อนที่ในสนามไฟฟ้าสถิตของจุดประจุต้นกำเนิด ( source ) ที่ตรึงกับกรอบเฉื่อย มี กฎการเคลื่อนที่ ดังสมการ ( 1 ) ดังนี้

    ( 1 )

โดยที่สนามไฟฟ้ามีรูป ตามกฎของคูลอมบ์ กล่าวคือ

, ,

และ

พิ จารณาอินทิกรัลตามเส้นของสมการ ( 1 ) โดยใช้เส้นทางการเคลื่อนที่ ของจุดประจุ จากตำแหน่งตอนต้น ถึงตำแหน่งตอนท้าย จะได้ปริมาณต่างๆ ดังนี้

( ก ) จากขวาสุดของ ( 1 ) จะได้ปริมาณ พลังงานจลน์

   ( 2 )

( ข ) จากตรงกลางของ ( 1 ) จะได้ปริมาณ งาน ( work )

    ( 3 )

(ค) จากซ้ายสุดของ ( 1 ) จะได้ปริมาณ พลังงานศักย์

    ( 4 )

โดยที่ในบรรทัดที่สองของ (4) แสดงรูปของพลังงานศักย์ และบรรทัดที่สาม แสดงรูปของ พลังงานสนามไฟฟ้า โดยมี เป็นสนามไฟฟ้ารวมของระบบจุดประจุทั้งสอง ซึ่งเราจะกล่าวถึงต่อไปที่สมการ ( 11 )-( 14 )

เมื่อเขียนรวมสมการ ( 2 )-( 4 ) จะได้ สมการพลังงาน ดังนี้

    ( 5 )

จะเห็นว่าสมการกฎการเคลื่อนที่ ( 1 ) กับสมการพลังงาน ( 5 ) มีโครงสร้างสมนัยกัน กล่าวคือ อัตราการเปลี่ยนโมเมนตัม สมนัยกับ พลังงานจลน์, แรง สมนัยกับ งาน, และ สนาม สมนัยกับ พลังงานศักย์หรือพลังงานสนาม แสดงดังแผนผัง ( 6 ) กับ ( 7 ) ต่อไปนี้

สนาม แรง อัตราการเปลี่ยนโมเมนตัม ( 6 )พลังงานสนาม พลังงานศักย์ งาน พลังงานจลน์ของ อนุภาค ( 7 )

เรามี 2 กระบวนทัศน์ (กรอบความคิด) ในการมองสมการพลังงาน ( 5 ) และแผนผัง ( 7 ) ดังนี้

I. กระบวนทัศน์แบบวิชากลศาสตร์ จากบรรทัดที่หนึ่งและสองของสมการ ( 5 ) ทำให้ได้ว่าพลังงานศักย์เท่ากับงาน ในการนำอนุภาควัตถุ (มีมวล) จากตำแหน่งอนันต์มาจัดวางที่ตำแหน่งต่างๆ ทำให้มีมุมมองว่าพลังงานศักย์เก็บสะสม ( stored ) อยู่ในการติดตั้งจัดวางวัตถุที่ประกอบกันเป็นระบบ เช่น เขื่อนกั้นน้ำ ก็เป็นการจัดสร้างหรือจัดวางวัตถุในระบบ ให้พลังงานศักย์สามารถ -> “ ทำงานผลักดัน ” -> ความเคลื่อนไหวหรือพลังงานจลน์ที่เอาไปใช้งานขับเคลื่อนสิ่งต่างๆ เราจึงเรียกปริมาณที่เชื่อมโยงระหว่างพลังงานศักย์กับพลังงานจลน์ว่า งาน อนึ่ง เครื่องกำเนิดพลังงานก็เปรียบเสมือนกับเป็น “ ก๊อกของพลังงาน ” ซึ่งเป็นการสร้างระบบที่สามารถควบคุมพลังงานศักย์ให้ปลดปล่อยพลังงานจลน์ออกมาได้เรื่อยๆ อย่างเป็นอัตโนมัติ แล้วนำความเคลื่อนไหวนี้ไปทำการผลิตสร้างงานอุตสาหกรรม

II. กระบวนทัศน์แบบทฤษฎีสนาม ในทฤษฎีสนาม มองว่าอันตรกิริยาระหว่างอนุภาคไม่ใช่การกระทำบัดดลที่ขึ้น กับแค่ระยะห่าง ( action-at-a-distance ) แต่เป็นสนามที่แผ่ไปในอวกาศและมีพลศาสตร์ในตัวมันเอง ในทฤษฎีสนามจึง ละทิ้ง concept พลังงานศักย์ที่สะสมที่ตัวอนุภาคตามกระบวนทัศน์ I. แต่มองว่าเป็น พลังงานสนาม ( field energy ) ที่สะสมอยู่ในตัวสนามทั่วทั้งอวกาศและถ่ายทอดให้กับอนุภาคกลายเป็นพลังงานจลน์ของอนุภาค เช่น การแผ่รังสีของดวงอาทิตย์ผ่านอวกาศสามารถให้ความร้อนและการเคลื่อนไหวต่างๆ ในโลก สำหรับวิชาไฟฟ้าพลศาสตร์ที่ประจุ ต้นกำเนิดสนามเคลื่อนที่ได้ นอกจากมีพลังงานสนามไฟฟ้าในรูปบรรทัดที่สามของ ( 4 ) แล้วยังมีพลังงานสนามแม่เหล็กด้วย [1 ( หน้า 236-237)] แต่วิชาไฟฟ้าสถิตมีเฉพาะพลังงานสนามไฟฟ้าเท่านั้น โดยเป็นสิ่งเดียวกับพลังงานศักย์ตามสมการ ( 4 ) (ซึ่งแสดงโดยสัญลักษณ์ ใน ( 7 ) ) แม้ว่าพลังงานสนามไฟฟ้ากับพลังงานศักย์ในวิชาไฟฟ้าสถิตเป็นสิ่งเดียวกัน แต่เป็น concept ที่มาจากกระบวนทัศน์ที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง ดูการเปรียบเทียบดัง รูปที่ 1

 

ปที่ 1 แสดงกระบวนทัศน์ในการมองพลังงานกล 2 แบบ คือ แบบกลศาสตร์ (ด้านบน) กับ แบบทฤษฎีสนาม (ด้านล่าง)

 

ตามกระบวนทัศน์แบบทฤษฎีสนามนี้ ในวิชาไฟฟ้าสถิตมีการถ่ายเทพลังงานตามแผนผัง ( 7 ) ดังที่บรรยายตรงย่อหน้าต้น บทความว่า พลังงานของระบบอยู่ทั้งในสนามของแรง นั่นคือ พลังงานสนาม และอยู่ทั้งในอนุภาค นั่นคือ พลังงานจลน์ และมีการถ่ายเทไปมาระหว่างพลังงานทั้งสองรูปนี้ในระบบ อนึ่ง ในขอบเขตของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป สนามความโน้มถ่วง เป็นความโค้งของอวกาศและเวลา ดังนั้นจึงมีพลังงานอีกชนิดหนึ่งอยู่ในโครงสร้างเรขาคณิตของอวกาศเวลา นั่นคือ พลังงานสนามความโน้มถ่วง

ปฏิทรรศน์ ( paradox ) ระหว่างพลังงานศักย์กับพลังงานสนามในวิชาไฟฟ้าสถิต

พิจารณาระบบจุดประจุ อนุภาค ลำดับด้วย ที่เริ่มต้นจากหยุดนิ่งในกรอบเฉื่อย ในขณะเริ่มต้นระบบยังไม่มี พลังงานจลน์ มีแต่พลังงานศักย์รวมสะสมไว้ พร้อมที่จะก่อเกิดการเคลื่อนไหว ซึ่งมีค่าเท่ากับงานในการนำจุดประจุเหล่านี้ จากตำแหน่งอนันต์มาไว้ด้วยกันที่ตำแหน่ง ต่างๆ และพบว่า มีรูปเป็นผล บวกของพลังงานศักย์จากแต่ละคู่อนุภาคอันตรกิริยา ดังนี้ (ใช้หน่วย Gaussian ) [1 ( หน้า 45-46), 2 ( หน้า 92-94)]

    ( 8 )

โดยที่ดัชนี หมายถึง รูปในวิชากลศาสตร์ ถ้าปร ะมาณเป็นระบบประจุต่อเนื่อง พลังงานศักย์รวมที่เก็บสะสมไว้จะอยู่ในรูป

   ( 9 )

เราจะพยายามเขียน ( 9 ) ในรูปสนามไฟฟ้า โดยขยาย การอินทิเกรตปริมาตรของก้อนประจุต้นกำเนิด ให้เป็นการอินทิเกรต ทั่วทั้งอวกาศ และใช้สมการปัวซงของศักย์กับการอินทิเกรตแยกส่วนจัดรูปดังนี้

   ( 10 )

เนื่องจากความเข้มสนามจะอ่อนลงจนเป็นศูนย์ในบริเวณที่ห่างจากประจุต้นกำเนิดเป็นระยะอนันต์ เราจึงสามารถละพจน์ผิว ( surface term ) ที่เป็นพจน์ที่สองในบรร ทัดที่สองของ ( 10 ) ได้ ส่วนดัชนี หมายถึง รูปในทฤษฎีสนาม สังเกตว่า ( 10 ) มีค่าเป็นบวกอย่างเดียวเพราะอยู่ในรูปผลคูณภายในของสนามไฟฟ้า ขัดแย้งกับ ( 8 ) ที่เป็นได้ทั้งค่าบวกหรือลบอันเนื่องจากระบบมีได้ทั้งประจุบวกและลบ !! [1 ( หน้า 46-47), 2 ( หน้า 96)] ปฏิทรรศน์ นี้มาจากไหน ? และ จะแก้ไขอย่างไร ? ลองตรวจสอบจากระบบที่ง่ายกว่านี้

พิจารณาระบบ 2 ประจ ุ ลำดับด้วย ที่เริ่มต้นจากหยุดนิ่งในกรอบเฉื่อย ในขณะเริ่มต้นระบบมีแต่พลังงานศักย์ซึ่งสามารถจัด ให้อยู่ในรูปสนามไฟฟ้าโดยใช้สมการปัวซงของศักย์และการอินทิเกรตแยกส่วนดังนี้

    ( 11 )

ซึ่งเราได้ละพจน์ผิวไป และพอจะมีทฤษฎีบท

    ( 12 )

    ( 13 )

โดยอินทิกรัล ( 10 ) เป็นเอกฐาน ( singular ) มีค่าลู่ออก สังเกตว่าการเขียน ใน รูปสนามไฟฟ้าตาม ( 8 ) ยังคงอยู่ในรูปสนามของแต่ละประจุ กับ ไม่ได้อยู่ในรูปสนามรวมของระบบ และยังไม่ใช่รูปทั่วไปสำหรับทุกระบบประจุ เนื่องจากเราสามารถบวกค่าคงที่ลงไปในพลังงานศักย์ได้อย่างไม่จำกัด โดยไม่เปลี่ยนค่าของแรงเพราะแรงอยู่ในรูปอนุพันธ์ของพลังงานศักย์ ( ) และไม่มีผลกระทบกับ ปรากฏการณ์ในอวกาศและเวลา [1 ( หน้า 47)] เราจึงสามารถจัดรูป ( 11 ) ให้อยู่ในรูปสนามไฟฟ้ารวมของระบบได้โดยบวก พจน์เอกฐาน ในรูป ( 13 ) ซึ่งเป็น ค่าคงที่อนันต์ ( : infinite constant ) ลงไปดังนี้

    ( 14 )

เห็นได้ชัดว่าสาเหตุที่ ( 14 ) ไม่ตรงกับ ( 11 ) ก็เพราะมีการเพิ่มพจน์เอกฐานนี้เข้ามา เมื่อย้อนกลับไปที่ ( 8 ) -> ( 10 ) ถามว่าในขั้นตอนใดเป็นจุดที่มีการเพิ่มพจน์เอกฐานนี้ ? คำตอบคือ ขั้นตอนแรกที่เปลี่ยนผลบวก ( 8 ) ให้เป็นอินทิกรัล ( 9 ) นั่นเอง [2 ( หน้า 97)] โดยพจน์เอกฐานนี้ไม่มีปัญหาในเครื่องหมายอินทิเกรต เพราะภายใต้ ที่มีค่าจำกัด ที่มีค่าน้อยยิ่งจะหักล้างกับองค์ประกอบเอกฐาน ที่จุด ทำให้สามารถนิยามตัวถูกอินทิเกรตที่จุดนี้ได้ [2 ( หน้า 97)] เช่น พิจารณาจุดประจุขนาด ที่อยู่ที่จุด เมื่อเราให้ เป็นปริมาตรทรงกลมน้อยยิ่งล้อมรอบจุด กล่าวคือ

โดยที่

ก็จะได้ว่า

ที่จุด มีค่า
ซึ่งไม่มีปัญหาในเครื่องหมายอินทิเกรต ของ ( 9 )

ดังนั้น ใน อินทิกรัล ( 9 ) ได้นับรวมพจน์เอกฐานนี้ไว้แล้ว ในขณะที่ผลบวก ( 8 ) ไม่ได้นับรวม น่าสนใจว่าพจน์เอกฐานที่ไม่มีในรูปของพลังงานศักย์ ( 8 ) แต่มีในรูปของพลังงานสนาม ( 10 ) หรือ ( 14 ) นี้ มีความหมายว่าอย่างไร ? คราวหน้าเราจะมาอภิปรายความหมายของพจน์เอกฐานนี้กัน

เอกสารอ้างอิง

[1] J. D. Jackson , Classical Electrodynamics (John Wiley & Sons, 2 nd ed., 1975).

[2] D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Prentice-Hall, 2 nd ed., 1989).