ชาญกิจ คันฉ่อง

ตอนที่ 3 พลังงานไฟฟ้าสถิต ( 2 )

    จากตอนที่แล้ว [1] เราได้พูดถึงปริมาณ 3 ปริมาณที่คู่ขนานกัน คือ พลังงานจลน์, งาน, และ พลังงานศักย์หรือพลังงานสนาม ซึ่งสมนัยกับการคู่ขนานของ 3 ปริมาณในกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน คือ อัตราการเปลี่ยนโมเมนตัม, แรง, และ สนาม ตามลำดับ ปริมาณทั้งสามสามารถอธิบายในคำของกันและกัน เช่น พลังงานศักย์ เท่ากับ งาน ในการนำอนุภาคสสาร (มีมวล) จากตำแหน่งอนันต์มาจัดวางไว้ที่ตำแหน่งต่างๆ ทำให้ดูเหมือนว่าเป็นนิยามของพลังงานศักย์ แต่ความจริงแล้ว พลังงานศักย์ไม่ใช่งานแบบหนึ่ง ปริมาณทั้งสามต่างมีคนละความหมาย ถ้าเช่นนั้นจะนิยามปริมาณทั้งสามอย่างไร ? ก็ในทำนองเดียวกับพจนานุกรม คำทุกคำอธิบายได้โดยใช้คำอื่นๆ แต่ไม่ได้หมายความว่า คำต่างๆ มีความหมายเหมือนกัน เราอาจเลือกใช้คำพื้นฐานง่ายๆ ชุดหนึ่งมาอธิบายความหมายของคำซับซ้อนต่างๆ แต่เป็นการเลือกอย่างลำลอง เพราะไม่ unique ขึ้นกับพจนานุกรมเล่มใดเลือกขึ้นมา และยังต้องอาศัยความหมายของคำอื่นๆ มาสื่อความหมายของคำพื้นฐานเหล่านี้ ถ้าไม่มีคำที่มีความหมายพื้นฐานโดยแท้จริงทำหน้าที่เป็นฐานการนิยามแล้ว ทำไมพจนานุกรมถึง work ทำไมเราถึงสื่อสารกันได้ นั่นเพราะที่จริงความหมายเกิดขึ้นจากแบบแผนความสัมพันธ์ ความแตกต่าง การเปรียบเทียบ การเป็นส่วนเติมเต็มกัน ( complement ) และการทาบทับกันเองของความหมายจากคำทุกคำ (นี่คือทัศนะการมองโลกแบบปรัชญาสำนักโครงสร้างนิยม [2 (บทที่ 1 ) ] ) เช่นเดียวกับทฤษฎีฟิสิกส์ (และทุกๆ อย่าง) พลังงานจลน์, งาน, และพลังงานศักย์ มีมาพร้อมกันทั้งหมด ไม่สามารถ isolate ความหมายออกจากกัน ความหมายของ แต่ละปริมาณเกิดจากการที่ปริมาณหนึ่งทำหน้าที่อย่างหนึ่งผ่านปริมาณทุกตัว

ในตอนที่แล้ว เราได้กล่าวถึงปฏิทรรศน์ ( paradox ) ระหว่างพลังงานศักย์ไฟฟ้าสถิต กับ พลังงานสนามไฟฟ้าสถิต ว่ามีความแตกต่างกันที่พจน์เอกฐานชนิดหนึ่ง ในตอนนี้ เราจะเท้าความและอธิบายความหมายของพจน์เอกฐานนี้กัน

พลังงานศักย์ไฟฟ้าสถิต

พิจารณาพลังงานศักย์ไฟฟ้าสถิตในรูปกลศาสตร์ เช่น สำหรับระบบต้นกำเนิดสนาม ( sources ) ที่เป็นอนุภาคประจุ 2 ตัวอยู่นิ่งในกรอบเฉื่อย มีรูปดังนี้

( 1 )

เนื่องจากแรงอยู่ในรูปอนุพันธ์ของพลังงานศักย์ ( ) เราสามารถบวก พจน์เอกฐาน ที่เป็น ค่าคงที่อนันต์ ( : infinite constant ) ในรูป ลงไปในพลังงานศักย์โดยไม่ มีผลกระทบต่อ ปรากฏการณ์ในอวกาศและเวลา [3 ( หน้า 47)] ก็จะได้รูปพลังงานศักย์ใหม่ที่สามารถ จัดให้อยู่ในรูปสนามไฟฟ้ารวมของทั้งระบบดังนี้

( 2 )

โดยที่ , , และได้ใช้ทฤษฎีบท

( 3 )

สำหรับพลังงานศักย์ไฟฟ้าของระบบ ต้นกำเนิดสนามไฟฟ้าสถิตทั่วไปก็เช่นเดียวกัน ]

( 4 )

สามารถนำ ไปบวกให้ได้ ที่ สามารถจัดให้อยู่ในรูปสนามไฟฟ้ารวมของทั้งระบบดังนี้

( 5 )

( 6 )

ใน กลศาสตร์ของอนุภาค พลังงานศักย์ไฟฟ้าสถิตรูป ( 4 ) มีค่า เท่ากับงานในการนำอนุภาคสสาร (มีมวล) จากตำแหน่งอนันต์มาจัดวางไว้ที่ตำแหน่งต่างๆ (เช่น ดูบรรทัดที่สองของ ( 1 ) ) ทำให้ตีความว่า พลังงานศักย์เก็บสะสม ( stored ) อยู่ในการติดตั้งจัดวางอนุภาคที่ประกอบกันเป็นระบบ การ บวก พจน์เอกฐาน รูป ( 5 ) เข้าไปใน ( 4 ) ทำให้ได้พลังงานศักย์รูป ( 6 ) ที่สามารถเขียนในรูปสนามไฟฟ้ารวมของทั้งระบบได้ สำหรับระบบที่มีพลวัตของสนามอันเนื่องจากต้นกำเนิดสนามสามารถเคลื่อนที่ได้ เราจะเรียก “ กลศาสตร์ของสนาม ” ที่บรรยายพลวัตของสนามว่า ทฤษฎีสนาม ในทฤษฎีสนามละทิ้ง concept พลังงาน ศักย์ที่สะสมอยู่ที่ตัวอนุภาคตามแบบกลศาสตร์ แต่มองว่าเป็น พลังงานสนาม ( field energy ) ที่สะสมอยู่ในตัวสนามทั่วทั้งอวกาศและถ่ายทอดให้กับอนุภาคกลายเป็นพลังงานจลน์ของอนุภาค

ความหมายของ “พจน์พลังงานตัวเอง”

   พจน์เอกฐาน มีความหมายทางฟิสิกส์หรือไม่ ? ทำไมต้อง เป็นรูป ( 5 ) ด้วย ? และการมีค่าอนันต์ของพจน์นี้หมายความว่าอย่างไร ? สังเกตว่า ในกรณี ระบบไฟฟ้าสถิตไม่มีพลวัตของสนาม คือ ถ้าทราบพลังงานศักย์ ( 4 ) ที่ขึ้นกับโครงสร้างการ จัดวางอนุภาคประจุต้นกำเนิดก็จะสามารถทราบพลศาสตร์ของอนุภาคทดสอบซึ่งเป็นพลศาสตร์ทั้งหมดของระบบได้ ทำให้ไม่มีความจำเป็นต้องใช้ concept พลังงานสนามมาอธิบายปรากฏการณ์ นอกจากนั้นพจน์เอกฐานในรูป ( 5 ) ก็ไม่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์ในอวกาศและเวลา จากข้อสังเกตเหล่านี้ เราจึงถามได้ว่าในขอบเขตวิชาไฟฟ้าสถิต การบวกพจน์รูป ( 5 ) ลงในพลังงานศักย์มีเหตุผลเพียงเพื่อต้องการจัดรูปให้สวยงามในรูปผลคูณภายในของสนามไฟฟ้าเท่านั้นหรือ ?

   1. การตีความแบบพลังงานสนาม ในแง่กลศาสตร์ ค่าอนันต์ของ เป็นของแปลก เพราะพลังงานศักย์ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์ในอวกาศและเวลา คือ ( 4 ) มีค่าจำกัดเพราะอยู่ในรูป ผลบวกที่มีจำนวนพจน์จำกัด และเราไม่นึกถึงการบวกพจน์อนันต์ลงไป แต่ถ้าเราเริ่มมองจากรูปพลังงานสนาม ( 6 ) โดยถือว่าเป็นรูปทั่วไปและพื้นฐานกว่าเนื่องจากใช้ได้ ครอบคลุมถึงกรณีที่มีพลวัตของสนามด้วย [4 (หน้า 236-237 ) ] เราก็สามารถบอกได้ว่าความเป็นอนันต์ของพจน์ ( 5 ) เกิดจากโครงสร้างของ ( 6 ) เองโดยไม่ต้องตีความพิเศษอะไร กล่าวคือ แม้เรานิยาม ค่า ได้ แต่ ที่อยู่ในรูป อินทิกรัลของ เป็น ผลบวกอนันต์ที่มีพจน์ต่อเนื่อง ทำให้มีค่าลู่ออกได้ เช่น ในกรณีง่ายที่สุด คือ ระบบจุดประจุเดียว การอินทิเกรตใน จะให้ค่าลู่ออกตามทฤษฎีบท ( 3 ) ซึ่งเรียกว่า “ พจน์พลังงานตัวเอง ( self energy ) ” [3 ( หน้า 47), 4 ( หน้า 96-97)] เพราะว่าเป็นพลังงานของจุดประจุเพียงตัวเดียว

   2. การตีความแบบพลังงานศักย์ เนื่องจากในวิชาไฟฟ้าสถิต เราคุ้นเคยกับพลังงานศักย์ รูป ( 4 ) มากกว่าพลังงานสนาม ในรูปอินทิกรัลของสนาม ( บรรทัดที่สองของ ( 6 ) ) เราจึงพยายามตีความพจน์ ( 5 ) นี้ตามแบบกลศาสตร์คือในรูป “ งานที่ใช้สร้างจุดประจุขึ้น ” ซึ่งจะเป็น “ พลังงานศักย์ที่เก็บสะสมอยู่ภายในเม็ดอนุภาคประจุเอง ” [4 ( หน้า 96)] แทนที่จะเป็นพลังงานของสนามที่มีอยู่ทั่วทั้งอวกาศ เราจะตรวจสอบการตีความนี้โดยการวิเคราะห์ต่อไปนี้

กำหนดระบบประจุ ที่มีประจุรวมทั้งหมด โดยให้ เมื่อ เป็นเศษส่วนซึ่ง และมี ในรูปพลังงานศักย์ดังนี้

( 7 )

   2.1 การตีความพลังงานศักย์อนันต์ในรูปงาน ลองพิจารณางานอนันต์ที่ใช้สร้างจุดประจุ ขึ้นจากการนำประจุชิ้นส่วนย่อย จากตำแหน่งอนันต์มาไว้ด้วยกันที่จุด เดียว ดังนี้

( 8 )

จะเห็นว่าเราได้รูปพลังงานศักย์อนันต์ที่แตกต่างจากรูปพลังงาน ของจุดประจุ หรือแตกต่างจากรูปพจน์ ที่ต้องการ ดังแสดงโดยเครื่องหมาย “ ” การมีส่วนขาดไปอธิบายได้ว่าเป็นเพราะเรายังไม่ได้คิดว่าแต่ละจุดประจุย่อย ที่นำมารวมก็มีพลังงานศักย์อนันต์เช่นกัน ดังนั้นการตีความพจน์อนันต์นี้ในรูป “งานที่ใช้สร้างจุดประจุขึ้น” ยังไม่สมบูรณ์

   2.2 การตีความจากความสอดคล้องกันเอง ผมขอเสนอการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ พิจารณาเปรียบเทียบ ในรูปพลังงานศักย์ ( 7 ) ภายใต้การดำเนินการสองแบบ คือ แบบ ( a ) พิจารณา ( 7 ) ใน กรณี หรือกรณีมีจุดประจุขนาด เดียว เทียบกับ แบบ ( b ) พิจารณาการทำลิมิต ใน ( 7 ) โดย ให้ทุกประจุ เข้ามาใกล้กันจนรวมเป็นจุดประจุ เดียวที่จุด เราจะพบว่าการดำเนินการทั้งสองให้ผลที่ ไม่ขัดแย้งกัน ดังนี้

( 9a )

( 9b )

   แม้แต่กรณีที่เป็นการรวมเศษประจุน้อยยิ่ง เข้ามาเป็นจุดประจุ เดียวก็ยังสอดคล้องกับ ( 9 ) ดังนั้นอนุภาคประจุประกอบที่มีจุดประจุหลายตัวมาทำพันธะต่อกันและอยู่ใกล้ชิดกันมากโดยมีแรงชนิดอื่นที่เข้มกว่ายึดไว้ ก็สามารถ ประมาณ เป็นจุดประจุอีกตัวหนึ่งที่มีพลังงานในส่วนสนามไฟฟ้าในรูปที่ลู่เข้าสู่ ( 9a ) ซึ่งเป็นรูปเดียวกับ ของแต่ละจุดประจุที่เข้ามารวม โดยไม่มีข้อขัดแย้งเกิดขึ้น คล้ายกับ ยอดๆ หนึ่งของดอกกะหล่ำเจดีย์ (กะหล่ำพันธุ์ Romanesco ดู รูปที่ 1 ) ที่ประกอบด้วยยอดย่อยเล็กๆ ที่มีรูปร่างเหมือนกัน และยอดย่อยแต่ละลูกก็ประกอบด้วยยอดย่อยๆ ที่มีรูปร่างเหมือนกันไปเรื่อยๆ อย่างไม่สิ้นสุด ดังนั้น ถ้าเราบวกพจน์พลังงานตัวเองรูป ( 9a ) ของทุกจุดประจุลงใน ( 4 ) ก็จะได้ ( 7 ) ที่มี สมมาตรชนิดนี้ นี่คือความหมายและเหตุผลการมีอยู่ของพจน์เอกฐานเหล่านี้ใน ( 7 ) แม้ไม่เกี่ยวกับปรากฏการณ์ในอวกาศและเวลาเลยก็ตาม

รูปที่ 1 แสดงดอกกะหล่ำเจดีย์ที่มีโครงสร้างแบบ fractals คือ ยอดๆ หนึ่งประกอบด้วยยอดย่อยเล็กๆ ที่มีรูปร่างเหมือนกันลงไปเรื่อยๆ ผมไม่ได้กล่าวว่า โดยประมาณ ของ จุดประจุประกอบที่ไม่ใช่จุดประจุพื้นฐาน มีโครงสร้างเป็น fractals แต่ “ เปรียบเปรย ” ว่ามีลักษณะ คล้ายดอกกะหล่ำนี้ในแง่หนึ่ง

(ที่มา : http://www.shopblogger.de/blog/archives/1472-Romanesco-mit-Paprikasauce.html )

   แต่ ในโลกจริงไม่สามารถ ดำเนินการ ( b ) โดยผ่านกฎฟิสิกส์อย่างกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันได้ เพราะจะต้องทำงานอนันต์ (โดยเราทำงานให้กับระบบ) หรือ อาศัยการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ขนาดอนันต์ (ถ้าจัดให้ระบบทำงานเอง) ดังนั้นเราไม่สามารถสร้างจุดประจุที่เป็นจุดจริงๆ ขึ้นมาได้ด้วยวิธีนี้ ในธรรมชาติเราสามารถแบ่งประจุให้เล็กลงได้อย่างจำกัดโดยไม่เล็กไปกว่าจุดประจุพื้นฐาน เช่น อิเล็กตรอน, ควาร์ค, ฯ ลฯ ซึ่งตามวิชาไฟฟ้าสถิตแบบฉบับ ประจุพื้นฐานเหล่านี้ มีค่า ในรูปอนันต์มาอยู่แล้ว (อย่างน้อยอิเล็กตรอนไม่ได้ถูกสร้างขึ้นด้วยวิธี ( b ) นี้ [4 (หน้า 96 ) ] ) อาจมองว่า ( 9 ) เป็นเพียงสมมาตรโดยประมาณของพลังงานสนามไฟฟ้าของอนุภาคประจุที่ใหญ่กว่าประจุพื้นฐาน หรือเป็นแค่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์นามธรรมที่ลองดำเนินการดูว่าสมการที่พิจารณามีสมมาตรอะไรหรือไม่ ก็สามารถลองเล่นกับสมการได้

เอกสารอ้างอิง

[1] ชาญกิจ คันฉ่อง, “ เหลี่ยมเพชรเม็ดงามวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า : ตอนที่ 3 พลังงานไฟฟ้าสถิต ( 1 ) ” วารสารฟิสิกส์ไทย , ปีที่ 24 ฉบับที่ 3 (ก.ย. - พ.ย. 2550 ).

[2] ไชยรัตน์ เจริญสินโอฬาร, สัญวิทยา, โครงสร้างนิยม, หลังโครงสร้างนิยม กับการศึกษารัฐศาสตร์ (วิภาษา, 2545 ).

[3] J. D. Jackson , Classical Electrodynamics (John Wiley & Sons, 2 nd ed., 1975).

[4] D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Prentice-Hall, 2 nd ed., 1989).